第45章 能量之舞，守恒之律

  “同学们，”孟川的声音带着一种即将揭示重要规律的庄重感，“过去几节课，我们分别认识了动能、重力势能、弹性势能，也学习了动能定理，知道了功是能量转化的量度。今天，我们要将这些概念串联起来，探索一个在特定条件下极其优美且强大的规律——机械能守恒定律。”

  他首先提出问题：“大家看这两个例子。一个理想单摆，从一侧高点释放，它会摆到另一侧几乎相同的高度。一个小球从一个光滑的、固定曲面的顶端静止释放，无论曲面形状如何，只要没有摩擦力和其他阻力，它总能滚到另一个相同高度的位置。为什么会这样？在这个过程中，能量是如何变化的？”

  学生们陷入思考。孟川引导着分析单摆过程：“单摆从最高点（比如A点）释放，此时速度为零，高度最大，所以重力势能最大，动能为零。在下摆过程中，高度降低，重力势能减少；速度增加，动能增加。到达最低点（B点）时，高度最低，速度最大，动能最大。上摆到另一侧最高点（C点）时，速度又减为零，动能变回零，高度恢复到与A点几乎相同，重力势能也恢复到几乎相同。”

  “在这个过程中，”他总结道，“似乎有一种能量在相互转化——重力势能减少，动能就等量增加；动能减少，重力势能就等量增加。如果我们把动能和重力势能统称为机械能（E_机 = E_k + E_p），那么看起来，在这个只有重力做功的过程中，机械能的总量保持不变。”

  他转身，在黑板上写下核心内容：

  机械能守恒定律

  内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。

  表达式：E_k1 + E_p1 = E_k2 + E_p2 （或 ΔE_k + ΔE_p = 0）

  条件：只有系统内部的重力或弹力做功。

  孟川详细解释了条件和表达式的含义：

  “只有重力或弹力做功”是关键。这意味着，除了系统内部物体间的重力相互作用，或者弹簧等弹性物体间的弹力相互作用外，没有其他外力对系统做功，也没有像摩擦力、空气阻力、爆炸力等其他内力消耗机械能。这类力我们称之为非保守力或耗散力。

  表达式中的下标1和2代表任意两个状态。定律表明，在满足条件的系统中，任意两个状态的机械能总和相等。

  “系统”的选取很重要。比如，考虑“地球+物体”为一个系统，那么它们之间的重力是保守内力，其做功不会改变系统总机械能。但如果把物体单独看作系统，重力就变成了外力，它对物体做功会改变物体的机械能。

  为了加深理解，孟川分析了几个典型例子：

  在自由落体运动中只有重力做功，机械能守恒。物体下落，重力势能转化为动能。

  在光滑斜面上的滑块所受支持力垂直于位移不做功，只有重力做功，机械能守恒。

  水平放置光滑面上的弹簧振子只有弹簧弹力做功，机械能守恒。动能和弹性势能相互转化。

  “机械能守恒定律，是能量守恒定律在机械运动范围内的一个特例和重要体现。”孟川将视角拔高，“能量守恒定律是自然界最普遍、最基本的定律之一：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只会从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到其它物体，而能量的总量保持不变。机械能守恒，就是在特定条件下，能量只在动能和势能之间转化，总量不变。

  “这个定律之所以强大，在于它为我们分析复杂的力学过程，提供了一条‘捷径’。”孟川强调，“很多时候，我们不需要知道中间过程的细节，只要过程的初态和末态满足机械能守恒的条件，我们就可以直接利用初态和末态的机械能相等来建立方程，求解速度、高度等未知量，极大地简化了问题。”

  他通过一道例题演示：一个小球从光滑曲面顶端静止滑下，求到达曲面上某一点的速度。利用机械能守恒，只需列出起点（势能mgh_1，动能0）和终点（势能mgh_2，动能(1/2)mv2）的机械能相等方程，即可直接解出v = √[2g(h_1 - h_2)]，完全不需要分析曲面形状和中间受力。

  课程最后，孟川总结道：“机械能守恒定律，揭示了力与运动背后，一种更本质的‘守恒’之美。它告诉我们，在看似纷繁复杂的运动变化中，存在着某种不变的东西——能量。发现并利用这种守恒关系，是人类理性认识世界、改造世界能力的一次飞跃。从古老的水车利用水位差，到现代的过山车设计、卫星轨道计算，都离不开对机械能转化与守恒的深刻理解和运用。”

  下课铃响，孟川结束了这堂关于“能量之舞，守恒之律”的课程。

  光幕之外，万朝时空，随着“机械能守恒定律”及其条件的清晰阐述，一扬比之前任何单一概念都更系统、更深邃的思想激荡，在那些已经初步搭建起力学知识框架的古人心灵中爆发。尤其是那些已经在尝试应用物理知识的“先行者”们，此刻的感受尤为震撼。

  他们第一次，如此清晰地将“动能”、“势能”、“功”、“转化”、“守恒”这些原本孤立或模糊的概念，用一条简洁而强有力的定律串联起来，形成了一个自洽的、可以用于分析预测的理论框架。

  唐，长安，将作监“力学所”内。

  刚刚因动能定理策论被擢升为主事的陆明，此刻正将自己关在一间临时辟出的静室中，面前摊开着写满潦草字迹和算符的纸张，旁边还放着几个他自制的简易模型：一个小摆锤，一个带凹槽的弧形木轨和小木球。

  他双目赤红，却闪烁着极度兴奋的光芒。

  “原来如此！原来如此！动能、势能、转化、守恒，非独重力势能，弹力势能亦如是！” 他反复咀嚼着孟川的每一句话，尤其是“只有重力或弹力做功”这个条件。

  此前，他改良梢砲的思路，主要基于动能定理和模糊的能量传递想法。现在，机械能守恒定律为他提供了一个更清晰、更根本的视角。

  他将梢砲系统简化抽象：配重→ 通过机构 → 抛射体。在理想情况下，这可以看作一个重力势能转化为动能的机械能守恒过程！虽然实际机构必然有损耗，但这个“理想模型”为他提供了性能的理论上限和优化的明确方向。

  更让他激动的是，这定律似乎可以解释和指导更多事物！

  他摆弄着小摆锤，看着它往复摆动。“绳力垂直，不做功，只有重力做功，故左右等高！妙哉！” 这解释了为何摆动幅度会衰减——因为机械能不守恒了，转化成了“内能”（。

  他又将小木球从弧形木轨一端释放，看着它滚下、冲上另一端斜坡，几乎能回到原高度。“支持力垂直，亦不做功，光滑则无摩擦耗散，所以机械能守恒！故高度几近相同！” 他明白了为何孟川强调“光滑”曲面。

  一个更大胆的想法在他脑中成形：若将梢砲的抛射机构，想象成一个特殊的“曲面”或“轨道”，配重视为沿此“轨道”运动的“小球”。那么，理论上，只要这“轨道”设计得足够巧妙，是否就能将配重的重力势能几乎全部转化为抛射体的动能，而非浪费在配重自身的最终撞击或机构的震动上？这需要寻找或计算那种“理想轨道”！

  他知道自己绝无可能完成如此复杂的计算，但这个“守恒”的框架，让他看到了优化器械的原则和极限。他重新铺开纸，开始起草一份新的论述纲要，标题暂定为《器用格物探微：以机械能守恒之理观军械改良之限与径》。他打算以此为基础，结合实测，尝试提出更具体的梢砲、投石机改良方案，并解释为何某些传统设计其实暗合“省力”或“蓄势”之理。

  陆明知道，这份纲要若能成文并得到认可，他在将作监、甚至在陛下心中的分量，将截然不同。这已不止是匠艺，而是近乎“道”的探究。

  宋，汴京，军器监弓弩院。

  沈拓已经调任案牍工作，有了更多时间整理思路。机械能守恒定律的讲授，让他对自己之前关于神臂弓能量传递的思考，有了更系统的反思。

  他认识到，弓弦释放过程，理想状态下应是一个弹性势能转化为箭矢动能的机械能守恒过程。但现实中，弓臂的振动、弦与箭尾的摩擦、空气对弓臂运动的阻力，都是“非保守力”，它们做功消耗了部分机械能，转化为无用的热能、声能和弓臂的残余振动动能。

  他的改良思路——优化弓弰配重、改进释放机构——本质上都是在试图减少这些非保守力做功的耗散，使系统更接近“只有弹力做功”的理想守恒条件，从而提高弹性势能向箭矢动能的转化效率。

  他不再满足于零碎的试验，开始尝试系统记录不同改良方案下，箭矢初速的细微变化，并与未改良的旧弓对比。他试图用“转化效率”这样的概念来评价不同方案。同时，他也在思考，能否在弓臂材料或结构上做文章，使其在拉弓时能储存更多弹性势能（，而在释放时又能更“干净”地将能量传递出去，自身余振更小。

  沈拓将这些思考整理成一份《弓弩劲力转化效验录》，不仅记录现象，更尝试用“势能”、“动能”、“守恒”、“耗散”等天幕所授的物理概念进行解释。这份记录在弓弩院内小范围流传，引起了一些同样有心钻研的匠人和低阶官员的兴趣，甚至有人开始模仿他的方法，记录其他器械的“效验”。一股小小的、注重“能量转化效率”的实践学风，在军器监的底层悄然萌发。

  明，龙江宝船厂。

  老木匠周大根的日子依旧，但心里那点关于“水劲儿”和“舵形”的琢磨，却因听到“守恒”、“转化”这些词，而变得更加执着。他不懂什么公式定律，但他听明白了：能量是守着的，可以从一种样子变成另一种样子；要是没浪费掉，那总量就不变。

  他看着江水流过不同形状的木块，心里想：水撞舵，水的“动劲儿”一部分变成推船转的“功”，一部分是不是就变成乱流、漩涡、拍打船身的“浪费”了？要是舵的形状能让水更“顺溜”地把劲儿用在推转上，少变成乱流，那舵不就更好使了，这不就是让水的“动劲儿”更多地转化成有用的“功”，少浪费吗？

  他继续偷偷打磨他那几个古怪的舵叶模型，虽然依旧说不清道不明，但那个“减少浪费，增加有用转化”的朴素目标，却因“机械能守恒”概念的注入，而变得更加清晰和坚定。他甚至开始留意其他匠人的工作，比如帆的形状、船底的线条，是不是也藏着类似的“转化”与“浪费”的道理？

  周大根的想法，或许永远无法形成文字，更不可能上达天听。但他那双布满老茧的手，和那颗被“能量守恒”理念隐约触动的匠人之心，或许会在某个不经意的时刻，在他打造或修补的某一片船桨、某一块船板上，留下一点极其微小却真实的、追求更“有效”结构的痕迹。

  其他时空的回响。

  在蜀汉，诸葛亮于丞相府密室中，对着绘制有连弩、木牛流马原理的草图，反复推敲。机械能守恒定律，让他对自己这些发明中的“蓄力-释能”机构有了新的审视角度。“木牛流马，山地省力，然其所蓄之势能，于行进间，可有浪费？连弩机括，弹簧之势能，可否尽数化为箭矢之动能？” 他虽无法计算，但此定律提供的“能量账本”思路，促使他思考是否存在更精妙的设计以减少无用损耗。

  甚至在一些帝王心中，也产生了微妙影响。李世民听到“守恒”二字，联想到的是“国力之积蓄与消耗”，而朱元璋确实更直接地督促工部：“给咱好好琢磨，怎么让水车的劲儿少浪费在水花和响声上，多用在磨盘上！”

  机械能守恒定律，如同一颗投入不同水深处的石子，激起的涟漪大小、形态各异。对陆明这样的“知识桥梁”人物，它催生了系统的理论探索和进阶的实践指南；对沈拓这样的技术中坚，它提供了优化工具的具体思路和评价标准；对周大根这样的底层工匠，它点燃了基于直观理解的改良火花；对诸葛亮这样的顶层设计者，它提供了反思已有发明的全新视角。

  它不仅仅是多了一条物理公式，而是提供了一种审视世间“力与运动”现象的根本性世界观：在纷繁变化中追寻不变，在能量流转中把握效率。这扬由光幕引发的、跨越千古的“格物致用”潜流，因“机械能守恒”这一核心规律的注入，而变得更加脉络清晰、方向明确，并在各个层面悄然加速，酝酿着迟早会显现于历史表层的、实实在在的变革力量。能量之舞的韵律，守恒之律的庄严，正透过孟川的课堂，渗入万朝时空的肌理，改变着人们理解与塑造世界的方式。