第42章 功量天地，功率时代

  “同学们，在开始今天的新内容之前，我们先来环顾一下四周，想想我们每天的生活。”孟川的声音平和地引导着，“早晨醒来，电灯带来光明，电磁炉或燃气灶加热食物；我们吃下早餐，获得活动所需的能量；乘坐汽车、地铁或骑自行车上学，交通工具在消耗燃料或电力；太阳照耀大地，提供光和热，驱动着天气循环，也被太阳能电池板收集利用；更广阔的，还有核电站中释放的庞大能量等等。”

  他一边说，一边在黑板上列出这些能量的名称：“看，能量无处不在，它以各种形式存在，并且可以相互转化。它是我们一切活动、一切技术、乃至生命本身的基础。那么，我们如何定量地描述能量的多少？如何精确地计算一个过程消耗或产生了多少能量？又如何衡量能量被利用或转化的快慢？”

  他停顿了一下，让学生们思考，也让光幕外正在努力消化“宇宙大爆炸”和“恒星生死”等宏大概念的古人，将注意力拉回到更贴近他们理解范围的“地上”事务。

  “要解决这些问题，我们需要一个新的物理概念和工具。”孟川转身，在黑板上用力写下两个大字：

  功与功率

  “今天，我们就来学习功和功率。”他解释道，“功，是能量转化的量度。 做功的过程，必然伴随着能量的转化或转移。而功率，则描述做功的快慢。”

  他举了一个古人立刻就能理解的例子：“想象一下，一匹马拉着车在平直的路上前进。”他在黑板上画了一匹简笔画的马，拉着一辆车，车受到向前的拉力F，在水平路面上移动了一段位移s。

  “马拉车，车从静止开始运动，车的动能增加了。这个过程，马对车做了功，消耗了马的化学能，转化为车的动能和克服地面摩擦消耗的内能等。”孟川一边说，一边标注着力F、位移s，“那么，马对车做了多少功呢？直觉告诉我们，拉力越大，车被拉得越远，做的功应该越多。但还有一点：如果马用力的方向，和车运动的方向不一致呢？比如，马不是水平拉，而是斜向上拉？”

  他在原来的图上，画了一个与水平方向成θ角的拉力F'。“这个时候，真正使车水平前进的，是拉力F'在水平方向的分力F'? = F' cosθ。垂直方向的分力只是让车对地面的压力变化，并不直接贡献于水平运动。”

  “所以，在物理学中，我们这样定义功。”孟川在黑板上写出定义式：

  W = F s cosθ

  “其中，W 表示功，F 表示力的大小，s 表示物体在力的方向上发生的位移的大小，θ 是力F的方向与位移s方向之间的夹角。”

  他逐一解释：

  当 0 ≤ θ ＜ 90 时，cosθ ＞ 0，W ＞ 0，力对物体做正功，通常是动力，使物体动能增加。

  当 θ = 90 时，cosθ = 0，W = 0，力对物体不做功。比如，物体做圆周运动时，向心力方向始终与速度（位移瞬时方向）垂直，向心力不做功。

  当 90 ＜ θ ≤ 180 时，cosθ ＜ 0，W ＜ 0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做功。通常是阻力，使物体动能减少，如摩擦力、空气阻力。

  “功是标量，只有大小，没有方向。但正负表示是动力功还是阻力功。”孟川强调，“它的单位是焦耳（J），1焦耳 = 1牛·米。”

  光幕外，从帝王将相到工匠力夫，几乎所有与“用力”、“劳作”有关的古人，都瞪大了眼睛，竖起了耳朵。

  “功，力与位移，还要乘上一个夹角余弦？” 一位正在监督河工搬运土石的官员，下意识地比划着。他以往只知道催促民夫多出力、快干活，却从未想过可以将“出力”、“移动距离”以及“用力方向”用一个如此简洁的公式联系起来，定量计算到底做了多少“工”！这简直是管理工程、核算工效的神器！

  “马拉车原来斜着拉，真正用于前进的力会打折扣！” 车夫和马夫们恍然大悟，他们凭经验知道斜拉费力，却不知具体折扣就是那个“cosθ”。

  “力垂直位移时，竟不做功？” 许多正在推动沉重石磨、或摇动辘轳提水的人，看着自己消耗气力却似乎没有让物体在力的方向移动很远，隐约触摸到了“劳而无功”的某种原理。

  孟川接着讲解功率。

  “功只告诉我们总共转化了多少能量，但没有告诉我们转化的快慢。同样是搬一万块砖上城墙，一百个人一天搬完，和一个人搬一百天，做的总功一样，但显然前者快得多。这就需要功率来描述。”

  他在黑板上写下功率的定义：

  P = W / t

  “P 表示功率，W 是时间t内所做的功。功率表示做功的快慢。单位是瓦特（W），1瓦特 = 1焦耳/秒。”

  “还有另一个常用的公式，由 W = F s cosθ 和 v = s / t 推导而来：P = F v cosθ。当力F与速度v方向相同时，简化为 P = F v。这个公式特别有用，它告诉我们，在功率一定的情况下，力与速度成反比。比如汽车上坡时需要更大的牵引力，就得换低速挡，降低速度以获得更大的力。”

  “功率一定，力与速度成反比。” 各朝负责漕运、驿传、乃至军队后勤的官员，脑中灵光一闪！这解释了为什么纤夫拉重船必须慢行，而轻车快马可以疾驰。若能精确计算所需功率，是否能更合理地调配人力和畜力，甚至设计更省力高效的机械？

  孟川开始布置一些简单的计算例题：计算水平推箱子、斜面上拉物体、起重机提升重物等情景中的功和功率。学生们在练习中逐渐熟悉公式的应用。

  而光幕之外，一扬静默却激烈的“头脑风暴”正在各朝，特别是在那些已有一定“力学”和“运动学”基础的“格物”者、工匠、务实官员中展开。

  他们结合刚刚学到的“功”和“功率”，串联起之前学过的“力”、“速度”、“位移”、“简单机械”（杠杆、滑轮、斜面）等知识，许多原本模糊的经验和巧思，突然被点亮，并指向了可能的量化改进！

  秦，骊山陵工地。

  一名负责石料运输的工头，看着民夫们用滚木拖拽巨石上斜坡。他以前只知道斜面比直接抬升省力，但省多少却全凭感觉。现在，他脑中闪过“功”的定义 W = F s cosθ。将巨石提升同样高度h，直接抬升，需力F1 ≈ 巨石重力G，位移s1 = h，功 W1 = G h。用斜面，沿斜面方向拉力F2，位移s2 = 斜面长L，但提升高度仍是h。因为功的原理，W2 = F2 L 也应等于 G h。所以 F2 = (h/L) G！斜面越长越缓，所需拉力F2越小！ 他立刻想到，是否可以通过精确测量和计算，设计出更优的斜面坡度与长度组合，在保证安全的前提下，最大限度地节省人力？他甚至开始模糊地思考，实际有摩擦时，额外要做多少功克服摩擦？这能不能也算出来？

  汉，关中粮仓。

  一位管理粮食入库的仓曹，正为翻晒、入库粮食时，民夫用箩筐背负上下楼梯效率低下且费力而发愁。他想到之前光幕提过的“滑轮”。如果能在仓廪高处安装固定的滑轮，用绳索提升装满粮食的箩筐呢？根据“功”的原理，理想滑轮不省功，但可以改变力的方向，方便施力。如果用一个动滑轮呢？是不是可以省力一半？他尝试用“W = F s”来理解：提升重物G到高度h，需做功 G h。如果用一个动滑轮，人拉动绳索的力F可能是G的一半，但需要拉动的绳索长度s是2h，功 F * 2h = (G/2)*2h = G h，果然相等！省力费距离。那么，如果用多个滑轮组成滑轮组呢？是否可以设计出更省力或更适合不同扬景的提升装置？他兴奋地找来懂木工的匠人，开始在地上画图。

  唐，将作监。

  几位参与了“力学所”研究的工匠和算学博士，正在讨论改良水车，用于驱动碾坊。他们已知水流冲击水车叶片产生力F，水车旋转带动碾轮。之前他们只关注力够不够大。现在，他们开始思考“功率”。水流冲击力的功率 P = F v。这个功率，是否等于水车输出用来碾磨的功率？如果能估算出碾磨一定粮食所需的功（W）和时间（t），就能反推需要的最小输出功率P_min，进而指导水车叶片大小、形状、水流速度的设计，使其功率匹配需求，避免浪费或不足。他们甚至开始模糊地触及“能量转化效率”的概念。

  明，沿海盐扬。

  晒盐的盐丁们，每日需用木耙翻动盐池中的卤水，劳动强度极大。一位老盐丁看着潮汐起落，忽然想到：潮水蕴含巨大的能量。能否利用潮汐的规律性涨落，像水车利用河流一样，设计一种机械，让潮汐的力量来带动翻耙？潮汐力是周期性的，但做功是实在的。关键在于如何将潮汐缓慢但巨大的位移和力量，通过某种机构转化为翻耙所需的功和合适的功率。这个想法看似天方夜谭，但“功”和“功率”的概念，给了他一个思考的起点：先估算潮汐一次涨落能做多少功，再计算翻耙需要多少功和功率，看是否可能匹配，以及需要怎样的传动机构。

  功与功率，这两个看似基础的概念，如同一把钥匙，为古代那些最敏锐的实践者们，打开了一扇从定性经验迈向定量分析、从知其然迈向尝试设计计算其所以然的大门。虽然他们的计算会漏洞百出，他们的设想大多简陋甚至谬误，但那种试图用统一、定量的物理语言去理解和改造劳作世界的思维转变，已经悄然发生。

  孟川的课堂在例题讲解中接近尾声。他最后总结道：“功和功率，是我们定量分析能量转化、评价机械效率、设计动力系统的基石。从古老的畜力、水力、风力，到现代的蒸汽机、内燃机、电动机，人类对更大功率、更高效率的追求，从未停止。而这一切的起点，就在于我们今天学习的这两个简洁的公式。”

  光幕暗下，但“功量天地，功率时代”的思维火花，已在千古时空的诸多角落被点燃。古人开始明白，推动世界前进的，不仅是力气，更是对“功”的算计和对“功率”的追求。